数学

「こうすればいい」には、常に「わかった気」がつきまとう

「わかった気」というのはかなり厄介な奴で、わかったつもりになってそこで立ち止まってしまい、立ち止まっていることに気づかない。 となると、「わかりやすく伝える」ことは、良いことなんやろうかという疑問がわく。 ぼくは今勉強の苦手な子が多い学校で数学を教えている。数学が苦手で苦手で仕方ない生徒も少なくない。 そんな数学が苦手で苦手で仕方ない生徒に対しては、「解ける」ことがまず必要であると考え、まずは解けるようになることを第一に考え、授業していた。例えば、速度の問題を教えるときに「きはじ」という図を使ったり。 最近、「きはじ」の図は有害である、と考える人の意見を見かけ、じっくり読んだ。で、「きはじ」は、理解を ...

「わかりやすく伝える」ことは、良いことなんやろうか

「わかりやすく伝える」 数学を教え始めてから、ずっと意識し、胸に抱いていた。 でもいつからか、わかりやすく伝えることが、ほんとうに良いことなのか迷うようになった。 何かを学ぶ時、そこにはたくさんの“発見”がある。「あっ!そうか!!」とストンと理解し、これまでの知識が繋がるような。 わかりやすくすることで、そういう、自分での発見の芽を積むことになってしまうのではないか。 理解の一番の敵は、「わかった気」になることではないか、と思っている。 わからないのであれば、理解に向けて考えていける。 わかった気になっていると、そこで思考が停止してしまう。理解していなかったり、身についてなかったりしても、わかった気になった ...

問題の反復練習には、スキャンしてiPadに取り込んでおくのが最強かも

数検の1級合格を目標に、毎日ちまちまと勉強をしています。 そこまで時間を投入することができているわけではありませんが、でも、今のところは着実に前に進めている感じです。 で、今回は、その勉強をiPadでしている、という話です。 今年の夏あたりに、iPad Proを購入しました。10.5インチで、使えるApple Pencilは第1世代のもののやつです。 ぼくは紙のノートが大好きです。ですが、実際に使ってみて、iPad+Apple Pencilは、紙のノートよりもやはり便利ですごく勉強に向いている、と感じました。 数検の対策として、過去の試験問題を解いて勉強していくことになります。早速問題集を買ってやり進めている ...

実用数学技能検定の1級を目標に、数学を勉強しようと思います

大学時代、ゼミの先生に「卒業後に働き出すことを考えると、数学の力は今がピークだから」と言われていました。 できるだけ数学の力を衰えさせないように、少しでも学ぶ時間をとりつづけてきましたが、先生のおっしゃるとおりで、知識の面でも思考力の面でも、徐々にあの大学の頃よりも落ちていっている感じがしてなりません。 少しづつでも数学を勉強する時間をとってはいましたが、何かしら目標らしいものを定めず、強いて言えば「この本を読み切ろう」ことをゆるい目標とするくらいでした。 そうやってもう10年近く。 少し学び方を変えてもいいかな、と思い始めました。 受験生の時、毎日勉強していましたが、けっこう楽しめていた記憶もあり、試 ...

思いつかないこともある。だからおもしろい ー数学からぼくが学んだこと4-

数学はこれまで、何百年も、何千年もかけて発展してきました。 そして、ぼくたちが学ぶ数学は、数学にたずさわる多くのかたがたが、年月をかけて整えてきたものです。 「あーでもないこーでもない」と苦心したうえに出来上がった道なはずです。 数学が何百年も、何千年もかけて発展してきた道を、ぼくたちは10数年で進んでいきます。 考えると、これって、ものすごいスピードです。 過去の数学的知見を最短コースで学ぶことができる道が、ぼくたちには与えられている。 一見その道を歩いていくと、確かにスピーディーにいろんな数学の内容を学ぶことができるかに見えます。 「そんなん思いつかへんわ」 数学を学んでいて、こう思ったことが一度や二度は ...

ツッコミを入れて、ストーリーを読み解く ー数学からぼくが学んだこと3ー

「”ひらめき”は必要でない」という目で数学を眺める。ストーリーを読み解く気持ちで解説を追う。 そうしていくと、問題の解説や定理の証明を読んでいるとき、ことあるごとに「ここはなぜこう考えるのか?」「式を変形すると確かに成り立つ。けど、なぜこう式を変形しようと思うのか?」などの疑問を抱くようになります。 ”ひらめき”は必要ではないと思うということは、すべてに対し、「そう考えていく理由があるはず、手がかりがあるはず」と考え、「そう考えていく理由はなにか?」を問い、その答えを探していくことになります。 ぼくはこれを、「ツッコミを入れる」と言っています。ことあるごとに「(そう考えていく理由は)なんでやろう?」 ...

「”ひらめき”はいらない」という目で見る ー数学からぼくが学んだこと2ー

“とりあえず”・”なんとなく”進むのではなく、まずは、「条件と求めるものを確認」し、今自分のいる場所と、向かうべき目的地を確認する。 こんな当たり前のことが、実はとても大切です。 「条件と求めるもの」は、最初に確認しさえすればいい、というものでもありません。 間違った道を進んでいることに気付いた時にも、再度「条件と求めるものを確認」するという行為は、別の一歩を探る手がかりとなってくれます。 また、「条件と求めるものを確認」することは、「ひらめき」に頼らず、一歩一歩着実に進んでいくための基本にもなってきます。 $x$軸に接し、$2$点$(2, 3), (-1, 12)$を通る2次関数の方程式を求めよ。 この問題の解答を眺め ...

“とりあえず”・”なんとなく”からの脱却 ー数学からぼくが学んだこと1ー

地図をもっている。行きたい場所がある。のに、”とりあえず”東に向かったり、”なんとなく”道をわたってみることなんて、普通はしないと思います。 でもぼくは、何年もの間、”とりあえず”や”なんとなく”に身を任せていました。 ”とりあえず”式変形したり、”なんとなく”値をあてはめたり。 そう、数学の話です。 少し、2次関数の話をします。 中学のころから「関数」を学び始めます。そして、高校に進み、関数をさらにふかく考えていくことになります。その一番はじめにじっくり学んでいくのが「2次関数」です。 2次関数は、「放物線」と呼ばれます。 2次関数において、とても特徴的な点が、「頂点」です。頂点を境に、それまで増加してい ...

「平方完成考えたやつって、頭ええよなぁ。」からはじまる数学

「平方完成考えたやつって、頭ええよなぁ。」 「平方完成って、$x^2-6x+2=(x-3)^2-7$っていう風に、2次式を平方の形に式変形するやつだよね。」 [image:626C29C6-F25D-4604-8296-A1ED0F92B7F5-19553-000010B817C66455/16543414187_918eca16d3.jpg] 「確かに、これを考えた人って、きっとすんごい頭良かったんだろうなぁって思うね。」 「やろ?こんな式変形、自分で思いつかへんわ。」 「うんうん確かに。まぁ自分で思いつかなくても、ある意味それは仕方ないことなんじゃないかなぁ。だって僕たちが今学んでいる数学っていうのは、何百年もかけて発展してきたことをほんのごく短い期間の間に習ってるんだから。」 「そうか、習ってると、「そんなん思いつかんわ!」っていうようなことばっかりに感じるけど、確かにそれって当然 ...

トップダウン・ボトムアップと、「数学の問題を解く」のと「数学を研究する」の

こちらの記事「フローラップ:Word Piece」と、こちらの記事「[R-style » レゴブロック、トップダウンとボトムアップ、破壊された構造に生まれる余白][1]」を読みました。どちらも、ものすごく興味深く、おもしろい。 トップダウンとボトムアップ、それとはちょっと性質の異なる「フローラップ」なるものについて言及されています。「R-style」さんのほうでは、レゴブロックを例えに、その3者(新しい「思考の大きな構造体を組み立てるアプローチ」には名前を与えていませんが)についての考察されており、とてもわかりやすく、詳しく述べられています。 そして、ぼくは以前にこんなことを書きました。 [レゴと数学 – i ...