「”ひらめき”はいらない」という目で見る ー数学からぼくが学んだこと2ー
“とりあえず”・”なんとなく”進むのではなく、まずは、「条件と求めるものを確認」し、今自分のいる場所と、向かうべき目的地を確認する。
こんな当たり前のことが、実はとても大切です。
「条件と求めるもの」は、最初に確認しさえすればいい、というものでもありません。
間違った道を進んでいることに気付いた時にも、再度「条件と求めるものを確認」するという行為は、別の一歩を探る手がかりとなってくれます。
また、「条件と求めるものを確認」することは、「ひらめき」に頼らず、一歩一歩着実に進んでいくための基本にもなってきます。
x軸に接し、2点(2,3),(−1,12)を通る2次関数の方程式を求めよ。
この問題の解答を眺めてみます。はじめの一行だけ。こんな風に書かれていることが多いはず。
解）求める2次関数の方程式は、y=a(x−p)2とおける。
問題を自分で解くことができずに解答をひらいた人は、この一行を見ると、もしかすると「なんでいきなりそうおけるってわかるねん！」とツッコミを入れたくなるかもしれません。
実際ぼくはそうでした。「なんでいきなりそうおけるってわかるねん、なんでそうおこうと思うねん」とモヤモヤしながらも、問題の解答を覚え、とりあえずその問題については解けるようにする、というスタンスで数学を勉強していました。
ずっとモヤモヤを抱いたままなのですっきりせず、楽しく学ぶことなんてできませんでした。
そんなぼくは恩師に出会い、「条件と求めるものを確認」することの大切さを学びました。それに加え、「”ひらめき”は必要ではない」ということも。
「条件と求めるものを確認」してみましょう。
- 条件：x軸に接し、2点(2,3),(−1,12)を通る2次関数
- 求めるもの：2次関数の方程式
求めたいのは、「2次関数の方程式」なわけです。じゃあ、「2次関数の方程式」ってのはいったいなんなのか。そう疑問を持つことができれば、次に進んでいくことができます。
2次関数の方程式はy=ax2+bx+cという形をしています。2次関数なので、a≠0です。a=0だと、x2が消えてしまい、次数が2の項がなくなり、「2次」の関数ではなくなってしまうからです。
そして2次関数では、もう一つの表現方法も大切です。それが、y=a(x−p)2+qという形。一つ目の式を平方完成し、頂点の座標が(p,q)とわかるように式変形したものになります。
この二つの表し方は基本的な事柄で、2次関数を学ぶと必ずでてくること。ひらめく類のことではありません。
次は条件をみてみます。「x軸に接し」と書かれています。
つまりこれは、「頂点がx軸上にある」ということ。条件として、”頂点に関すること”が与えられていることがわかりました。
求めたい2次関数には二つの表現がありました。一般的なy=ax2+bx+cと、頂点の座標が(p,q)であるy=a(x−p)2+qです。
一方、条件を読むと、”頂点に関する情報”が与えられていました。
2次関数の二つの表現のうち、条件の”頂点に関する情報”を扱うためには、頂点の座標が(p,q)である、y=a(x−p)2+qという方が使えそうです。
「頂点がx軸上にある」ので、頂点のy座標は0です。つまり、(p,q)の、q=0。
となると、y=a(x−p)2+qのqが0であることから、求める2次関数の方程式はy=a(x−p)2という形をしているはずだ、とわかります。
ということで、解）の一行目にあるように、「求める2次関数の方程式は、y=a(x−p)2とおける」わけです。
少し、混み入った話になってしまいました。混み入った話になったものの、”ひらめき”が必要となる部分は、一切ないように思います。
まず「条件と求めるものを確認」する。それに、自分の知識を組み合わせて思考を進めていく。
数学のそういう側面が伝わってほしいな、と思います。
「”ひらめき”が必要ではない」と学び、実際の問題たちを通してそれを実感してから、ぼくは数学がすごく楽しくなりました。問題の解説というのは、はじめから最後まで忠実に組み立てられた”流れ”があることがわかったからです。それはもう、よくできた「ストーリー」です。
もちろんこれは数学の”問題”に限ったことではありません。数学で学ぶいかなる”定義”や”定理”においてもそう。
自分では答えまでのストーリーを組み立てることができないかもしれない。自力では結末まで進めないかもしれない。でも、そのストーリーを理解し、味わうことはできる。
そういう思いで数学を学んでいます。楽しんでいます。
数学の魅力的なストーリーたちが、どんどん語られ、味わわれていけばいいな、と願っています。
魅力的なストーリーを、その魅力を失わせることなく、伝えることができるようになりたいと思っています。
では、お読みいただきありがとうございました。
問題の解説
「条件と求めるものを確認」してみましょう。
- 条件：x軸に接し、2点(2,3),(−1,12)を通る2次関数
- 求めるもの：2次関数の方程式
求める2次関数の方程式を、y=a(x−p)2とおきます。
先ほど確認したように、条件にて、”頂点に関する情報”として「x軸に接する」と与えられており、このことから、「頂点のy座標が0となるので、y=a(x−p)2とおける」のでした。
与えられている条件をさらにみると、「2点(2,3),(−1,12)を通る」とあります。
例えば、関数が「点(1,2)を通る」ということからわかることは、関数のxに、点(1,2)のx座標である1を代入すると、そのときのyの値は点(1,2)のy座標である2になる、ということ。つまり、xとyのそれぞれに、点(1,2)のx座標、y座標を代入した式が成り立つ、ということです。
y=a(x−p)2が(2,3)を通ることから、x=2とy=3を代入した式、3=a(2−p)2が成り立ちます。
同様に、(−1,12)を通ることから、12=a(−1−p)2が成り立ちます。
あとは、この2つの式を利用して、aとpの2つの文字の値を求めていきます。
2つの未知数aとpに対して、2つの式を導くことができました。2つの式があれば、2つの未知数aとpの値を求めることができるはずです。
3=a(2−p)2・・・(1) 12=a(−1−p)2・・・(2)
(1)の両辺を(2−p)2で割って、
3=a(2−p)2⇔3(2−p)2=a
これを(2)に代入すると、
12=a(−1−p)2 ⇔12=3(2−p)2(−1−p)2
12=3(2−p)2(−1−p)2 ⇔12(2−p)2=3(−1−p)2 （両辺を(2−p)2倍した） ⇔4(2−p)2=(−1−p)2 （両辺÷3） ⇔4p2−16p+16=p2+2p+1 ⇔3p2−18p+15=0 ⇔p2−6p+5=0 （両辺÷3） ⇔(p−1)(p−5)=0 ⇔p=1,5
3=a(2−1)2⇔a=3。このとき、求める2次関数はy=3(x−1)2。
p=5のとき、(1)に代入すると、
3=a(2−5)2⇔a=13。このとき、求める2次関数はy=13(x−5)2。
というわけで、答えはy=3(x−1)2,y=13(x−5)2であることがわかりました。