トップダウン・ボトムアップと、「数学の問題を解く」のと「数学を研究する」の

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こちらの記事「フローラップ：Word Piece」と、こちらの記事「[R-style » レゴブロック、トップダウンとボトムアップ、破壊された構造に生まれる余白][1]」を読みました。どちらも、ものすごく興味深く、おもしろい。
トップダウンとボトムアップ、それとはちょっと性質の異なる「フローラップ」なるものについて言及されています。「R-style」さんのほうでは、レゴブロックを例えに、その3者（新しい「思考の大きな構造体を組み立てるアプローチ」には名前を与えていませんが）についての考察されており、とてもわかりやすく、詳しく述べられています。
そして、ぼくは以前にこんなことを書きました。
[レゴと数学 – iPhoneと本と数学となんやかんやと][2]
レゴと数学には、結構共通点があるんでないか、と思っています。なので、今回記事を読ましてもらって、自然と数学との関連に思考が進んでいきました。

「数学の問題を解く」ときは、ボトムアップとトップダウンを行き来する

ボトムアップと、トップダウン。「数学の問題を解く」ときには、この両者を行き来しているように思います。
「数学の問題を解く」とは、問題文中に書かれている”条件”をもとに、問題文中に提示されている”求めるもの”を求めていく作業です。まずは、その二つをはっきりと意識しなければいけません。

条件を明確にする。
求めるものを明確にする。

”条件”をスタートとして、”求めるもの”というゴールへと向かっていく。でも、決して一直線に”条件”をつなぎ合わせていけば”求めるもの”に辿り着くわけではなく、ときには”求めるもの”に到達する一歩手前を明らかにすることもあります。

求めるものを導くために、条件を扱っていく。
条件の形に、求めるものを少し変形する。

この両方を行き来しながら、求めるものを明らかにしていくことこそ、「数学の問題を解く」ことと言えます。「求めるものを導くために、条件を扱っていく。」のはボトムアップ的ですし、「条件の形に、求めるものを少し変形する。」のはトップダウン的です。つまり、「数学の問題を解く」ときは、ボトムアップとトップダウンを行き来しながら、求めるものを明らかにしていくわけです。
中学校や高校では、普段の授業の理解度を、定期テストという形ではかっています。また、高校入試や大学入試は、試験の点数によって合否が決定されます。ずーっと、「数学の問題を解く」ことを要求され続けるわけです。大学に入ってからも、はじめの1,2年は、線形代数や微分積分学など、どの分野にも関連してくる、基本的な内容を学ぶことになります。すでにある定理や命題の証明をなぞることが多くなります。
つまり、前述した、ボトムアップとトップダウンの行き来を学ぶことがメインになってきます。
でも、この「ボトムアップとトップダウンの行き来」ばかりでは、何か新しいことに行き着くことは難しい。求めること、証明することがあり、条件が提示されてこそ、求めるものと条件を行き来できるのだから。

「数学を研究する」のは、トップダウンでもボトムアップでもないんでないか

「数学を研究する」ときは、ボトムアップともトップダウンとも違ってくる、と思います。
「研究」では、”行き着く先”が明確でないので、トップダウンではないでしょう。トップダウンのトップにあたる部分が、おぼろげながら見えていたとしても、変化するはずです。
”用いる要素”が固定でない、定かではないため、整理分類してまとめあげるという意味でのボトムアップではないでしょう。”用いる要素”進むうちに増えるでしょうし、進むうちに減りもするでしょう。
となると、「研究」は、トップダウンにもボトムアップにも属さない要素が多分にある、ってことになります。
以前、ぼくが学んでいたゼミの先生が、院に進む際、「数学を研究すること」について、円を描いて図で教えてくれました。

円の中身をつめていくことが、大学の学部生までに学んでいく部分。そこから先は、円の外へと踏み出していかないといけないよ、と。
それまで身につけたことを、未知の領域に対して用い、進んでいく。先ははっきりみえなくとも、あれこれ考えながら、試しながら、迷いながら、ときには振り出しに戻ったりもしながら、進んでいく。それをずっとし続けていく。飽きもせず続けていけるからこそ、進んでいけるんでしょう。子どもがレゴブロックで遊ぶかのように。
これまで書いたことは、「数学の研究」ってのをしたことがないので、あくまでもぼくの推測になっちゃいますが。

おわりに

「数学の問題を解く」のと「数学を研究する」は、かなり根っこの部分から違うように思います。その両者には、大きな乖離がある。ぼくはその間を、飛び越えることができる気がまったくしなかったので、研究職につきたいと思ったことはありません。でも、やっぱりあこがれというか、そういう感情は常に持っています。
「数学の問題を解く」のと「数学を研究する」のの間を飛び越えるためのポイントは、ボトムアップとトップダウンではない部分にあるように思います。問題を解くことを目的とするのではなく、自分が納得できるまで、深く理解できるまで、式を変形したり、図を描いたり、試行錯誤しながら学んだかどうか。ボトムアップとトップダウンではない部分を、自分でやりながら学んできたかどうか。
ボトムアップやトップダウンではない部分。ぼくも、授業を考えるときに、大切にしていきたいな、と思います。授業について考えることは、一種の研究であると思うので。
では、お読みいただきありがとうございました。

[1]: http://rashita.net/blog/?p=15422)%E3%81%AB “R-style » レゴブロック、トップダウンとボトムアップ、破壊された構造に生まれる余白” [2]: https://choiyaki.com/?p=108 “レゴと数学 - iPhoneと本と数学となんやかんやと”