抽象化の先に待っているものが感じられるTED動画

小学校で学ぶ算数と、中学校以降に学ぶ数学。このふたつには大きな違いがあります。
よく「算数は普段使うから必要やけど、数学を普段使うことはない。やから必要ない」って意見を聞いたりしますが、「必要ない」という部分以外はまさにそのとおりだと思います。「算数は普段使うから必要やけど、数学を普段使うことはない」。だって、扱う対象が違うんですもの。

算数で扱うのは、”具体的”です。具体的な数を扱い、数に関する知識を学びながら、四則演算を習熟していきます。に対して数学で扱う対象は”抽象的”なもの。数学では「文字式」を筆頭に、普段の生活ではなかなか出てこない、抽象化された世界へと踏み込んで行きます。
だから「算数は普段使うから必要やけど、数学を普段使うことはない」んです。ただ、必要ないことは決してないですが。

抽象化してなんなのさ

じゃあ、抽象化していったいなんだというのでしょうか。

中学校に入り、いきなり度肝を抜かれるのが、文字式だと思います。
それまでは500とか1.2とか具体的な数字を用いていたのに、なんだかxとかyとかが登場してきて、それで式を表現したりします。抽象化された世界への第一歩を踏み出すわけです。

算数の有名な問題で「鶴亀算」というのがあります。鶴と亀の数とその足の総数からそれぞれ何匹いるのかを求める問題です。

算数の世界ではあくまでも具体的な数を扱うので、まずは「すべて鶴であるとする」という仮定から始めての、総数を求めて行きます。それはそれで大切な考え方を学ぶことができるのですが、文字式を獲得したあとであれば、”方程式”という強力な武器が使えるようになります。こっちの方は鶴亀算のみならず、いろんな問題に応用可能です。

具体的な世界を離れる、ということは、応用範囲を広めることにつながります。

「ロバートラングが全く新しい時代の折り紙を折る」

抽象化することの恩恵がすごく感じられる動画が、TEDにあります。それが「ロバートラングが全く新しい時代の折り紙を折る」。

とにもかくにも動画を見て欲しいなと思います。「折り紙もすごいとこまできたもんだ」と感心すること請け合いです。

ロバート・ラングが全く新しい時代の折り紙を折る | Video on TED.com

今回注目して欲しいのは、折り方をコンピュータに計算してもらうことができるようになるまでの話の部分です。
そこでは、いろんな折り方のすべてに共通する要素を抜き出してしまうと、たった4つの法則にたどり着くことができる、ということが述べられています。
折り紙には古くから培われてきた、本当に様々な折り方ってのが存在します。これまでは一つ一つ折り方を編み出してきたわけですが、すべての折り方に共通する法則を抜き出すことで、折り紙の世界はとたんに広がります。
簡単な骨組みを考えることで折り方をコンピュータにはじき出してもらうことができるようになったんですから。
具体物の一つ一つをから構成されていた折り紙の世界を、すべての折り方に共通している要素、”4つの法則”を抜き出すことで抽象化し、単純な要素のみで表現することで、しまいにはコンピュータに計算してもらえるようにしちゃったわけです。
コンピュータの技術がどんどん高まっている現在、こんな事例はこれからも出てくるのではないかなと思います。

おわりに

というわけで、TED動画「ロバートラングが全く新しい時代の折り紙を折る」を見ることで、抽象化の恩恵を感じ取れるのではないかなと思います。
抽象化するってのはとてもすごいことなんですけれども、抽象化されたら具体を離れるということで、目に見える対象ではなくなっちゃうんですよね。やっぱり普段の生活で扱うものは具体的なものばかりなんで、対象が抽象的なものである「数学」という学問は「別になくても困らないし、必要ないでしょ」って結論に至っちゃう人がとても多いんでしょう。
でも、だからこそおもしろい面もあるわけで。そんなのをこれからも紹介できればなと思います。

では、お読みいただきありがとうございました。

20130703202511

概念の拡張と日常への適用

数学では、新しく世界を広げるために、「概念を拡張する」ことがある。

拡張するとは、適用範囲を拡げること

例えば、「数」。ぼくたちが一番初めに学ぶのが、1、2、3、4などの「自然数」とよばれるもの。この自然数に対し、「+」「−」「×」「÷」の計算ー「四則演算」ーが定義されていくこととなる。
すると、「1÷3」や「2-5」など、計算の結果が自然数ではなくなるものが出てくる。出てきた数を認め、はじめは自然数に対して定めた「+」「−」「×」「÷」を、新たに出てきた自然数ではない数に当てはめてもいいかを確かめる。
そうして、これらの演算を、小数や負の数などの自然数以外へと、拡張していく。さらには、有理数、無理数、虚数へと進んでいき、どんどん演算の及ぶ範囲を拡げていく。

こんな風に、概念を拡張していくことで、考え得る世界を拡げていくのが、数学の大きな目的の一つと言える。

”知識”自体が大切なのではない

こんなことをよく聞く。「日常で出てくるのは、たすひくかけるわるくらい。それさえできればいいので、必要なのは算数まで」。

確かに、数学で学ぶような、「三角関数」であったり「微分・積分」であったりは、日常ではまず出てこない。はっきり言って必要ない。でもそれはあくまでも、「知識としては」という前提がつく。

「知識としては必要ない」のであって、「学ぶ必要がない」わけではない。ここを取り違えてはいけない。

数学を学ぶのは、数学的知識を蓄えることが目的ではなく、数学で培うことのできるものの見方・考え方を、日常へと拡張することが目的と言える。

拡張して、適用範囲を拡げることが目的

数学では、論理的に考えることや、記号を使ってシンプルにとらえること、グラフや図を用いて、視覚的にとらえること、問題を解決する際のアプローチの方法、、、などなどを学ぶことができる。
これらは「知識」ではなく、「見方や考え方」であり、覚えておくものではなく、身につけるもの。
この身につけたことを、日常へと適用範囲を拡げること。数学のいないところにも、概念を拡張すること。それこそが、数学を学ぶ目的と言える。

拡張の経験が日常にも活かされる

数学では、新しく世界を広げるために、「概念を拡張する」ことがある。頻繁にある。
ということは、数学に触れることで、概念の拡張を数多く経験できる、ということになる。この経験が、数学の身につけたものを日常生活へと拡張することにも、役立っている、と思う。

意識的かどうかは別として。
数学で培った力が拡張されていることを、自分自身意識できているのかは別として。

気づかない間にでも、数学のものの見方、考え方が、日常へと拡張されているのであれば、やっぱり数学を「学ぶ必要がない」わけはない。

おわりに

将来的に使わないから、というのは、学ばなくていい理由にはならない。教科によって差こそあれ、何かを「学ぶ」ということは、知識を蓄えることのみならず、その教科で養える力を習得するためにあることだから。

ぼくは、歴史や漢文が大嫌いだった。「覚えるだけ」の教科だと勝手に決めつけ、覚えても将来役立たないではないか、と、自分に言い訳をして、なるべく避けようとしていた。でも、今では思う。歴史や漢文も、覚えるだけが目的ではないと。「学ぶ必要がない」わけはないと。もう少し真面目に取り組むべきだったな、という、少しの後悔だけがのこっている。

数学に対して、そんな後悔がのこる人が、一人でも少なくなればいいな、と思う。

では、お読みいただきありがとうございました。

何を書こうか考えた結果、やろうと決めて結局やめちゃったことについて書こうかな、と。

そんなん書いてるのんあんまし見たことないので、書いてみようかな、と。

やめちゃった1:ブログ毎日更新

ブログを積極的に更新すると決意し、宣言し、実際に半年ほどは毎日更新を続けることができた。
というか、そんなに続いてたなんて忘れてて、ブログを読み返して知った。半年も続けていたことにびっくり。
このエントリは実は、本日を以て – R-styleを読んで、書いた。とにかく、感謝を伝えたくて。

ブログを書き始めたきっかけは、もうあまりちゃんとは覚えていない。けどはっきり覚えているのは、先にブログを書いていた人たちがいた、ということ。ぼくはそれを毎日楽しみにして読み、いつしか自分も書きたいと思い、書くという一歩を踏み出すことができた、ということ。
そんなブログに、感謝感謝しかない。そんな魅力的なブログを書かれた方たちに、感謝感謝しかない。

この文章は、ほぼほぼ「R-style – Sharing is Power!」というブログに向けて、R-styleを書いている倉下さんに向けて書いた。実は。
で、その感謝を、行動で示していきたいなというか、何かできないものかと思い、毎日更新を決意した。
結局は毎日更新は途絶えてしまったけど、でもぼくにとって半年も続けることができたのは結構奇跡的なことで。

やめちゃった2:数検の勉強

数検1級合格を目指して勉強し始め、合格までをブログで定期的に追って行こう、と考えてたけど、2019年10月27日に報告を開始して2020年2月2日を最後にブログでの報告を中断、その後しばらくは勉強を続けていたけど、続かなくなった。
理由は、微分方程式の解法を勉強して問題を解けるようになったけど、そもそも微分方程式の公式はなぜ成り立つのか、定理や公式や解き方の背景を含めて理解したくなったから。そのために、微分積分学を学び直すことを始めたため。
何年かかってもいいから、やっぱり「解ける」だけに満足せず、理解した上で問題ができるようになりたくて。
微分積分学の勉強も楽しく、しばらく続けることができていた。けどそれもやがてやらなくなってしまい。
ただ、数学に関しては、今後もきっと何度でも何かしらを学ぶことにチャレンジしていくと思われるので、挫折したというよりかは今はいったん中断している、と言ったところ。

やめちゃった3:紙のノートによるバレットジャーナル

連用日記の手帳版を「連用バレットジャーナル」と名付け、紙のノートを手帳として使っていた。
ただ今はもう、紙のノートは使っていなくて。
iPadのApple純正メモ帳に移行したのち、今はObsidianを使っている。連用形式で。
それについてはまた書けたらな、と思う。

おわりに

なんとなく「やめちゃったことについて書こー」と思って書き始めたこのエントリやけど、ブログ毎日更新の経緯について書けてよかった。

では、お読みいただきありがとうございました。

知的生産その5「授業」〜一個人の、知的生産・タスク管理の技術15〜

授業」を組み立てるときにも、頭をはたらかせます。生徒にわかるかたちはどういうものを、どういう順序で、どういったように伝えたらいいか、を。
ただただ考えるわけではなく、段階によって少し考える方法や用いるものがかわってきます。

章ごとに

数学の教科書は、数学を伝える単位として、内容ごとに「章」や「節」に分かれています。新たな章に入るときに、その章全体のロードマップを思い描きます。もちろん、高校には定期考査というものがあるので、考査によってその「章」や「節」は分断されるのでそれも考慮に入れつつ、最終的な目標と、そこに至るまでの道筋を考えます。
ここで用いるのが、紙とペンiPadApple Pencilではなく、です。なぜかというと、この段階では、書くスペースの大きさの制約が考える妨げになってしまうから。
最低でもA4サイズ、理想はA3サイズの紙に、最終的な目標に至るためにはこういうことを押さえて置きたいというものを書き出していきます。配置に気をつけつつ、でもそこまで神経質にならないように。教科書の内容と照らし合わせつつ、道筋を描いていきます。
この段階では、アウトライナーを使うこともあります。どういった順序で進めていくかを考えるので、道筋としては直線的です。そこがアウトライナーとマッチすることもあるので、時に大きな紙を、時にアウトライナーを使って考えます。

毎回の準備

章ごとに流れを考えて置き、次に毎回の授業前には今回の授業では何をどのように伝えていくのか、を考えます。
この時にもA4サイズの紙をよく使います。毎回の授業を考える時には、基本的に考えた後は捨てしまっても差し支えはないので、裏紙に、今回の内容をどうやって伝えようか書きながら考えます。
そしてある程度まとまった後は、iPadとApple Pencilの登場です。というのも、板書計画は、配置や言葉をなんども修正しつつ完成に向かうことになるので、何回でも修正可能で、言葉の配置の修正に優れているiPadのノートアプリがうってつけです。加えて、そこに書いた板書計画の一部を黒板に投射して授業をす流、というスタイルを取っているので、その点においてもiPadで計画していた方がいいわけです。
そして、板書の補助になりそうな部分をスライド化して置きます。

授業では

授業では黒板にチョークで、重要な部分や押さえてほしいことを書いていくわけですが、書くのに時間を取られすぎるのもよくないかな、と思い、書き写してほしい問題文などはあらかじめスライドの中に盛り込んで置き、その内容を黒板に投射し、そこに書き足していくスタイルで授業をしています。
しっかり集中して話を聞いてほしいので、なるべく話す時間は短く、そこでの理解をノートに書いて置けるような進め方をイメージしています。

授業は、頭をはたらかせて、数学の内容を生徒にわかるかたちで提出する場になります。
まだまだまだまだ全然うまく授業できていないので、なんとか少しずつでも数学を伝えることをうまくなっていきたいなーと思うばかりです。

アドラー心理学は、「変化を促す、変化を後押しする心理学」〜アドラー心理学について③〜

アドラー心理学は、「変化を促す、変化を後押しする心理学」であるのではないか、と思う。

アドラー心理学の大きな特徴の一つが、原因論を唱えていること。
怒鳴るために怒りを持ち出すと考える。人は、突発的な怒りに駆られて怒鳴るのではなく、怒鳴るって目的が先にあり、そのために怒りを持ち出す、というとらえかた。
目的が先にあるなら、その目的を選択し直せば、これまでとは違うように歩める。
そう、そこがミソ。目的は、選択しなおせばいい。選択し直すことができる。
選択しなおせば、今までの自分とは違う存在になれる。

今までどういう選択をしてきたのか、は関係ない。過去を気にせず、「これから」に目を向ける。アドラー心理学は、そのための哲学であると理解している。
アドラー心理学は、変化をその人自身の手で起こせるように後押しする心理学。自分の力で歩む力添えをする考え方。
変化を促し、後押しすることができれば、教師冥利に尽きる。というか、ぼくは、そういう風に他者に、社会に、この世界に貢献したいなぁと漠然と思っている。
みんなの人生の中で、ぼくが関わることのできる時間は、ほんの一瞬。でも、その一瞬で、その後の人生に大きな”良い影響”を与えたい。変化や成長を後押ししたい。

アドラー心理学は、変化を望まない人にとっては手厳しく、変化を望む人にとっても手厳しい考えを提示する。
それは、人はその手厳しさを乗り越えることができる、その力があるという信頼に基く。
変わることは簡単ではない。けど、人は、変化する。変化する力を持っている。
ぼくも、それを信念に、なにができるか、どうできるか考えたい。

では、お読みいただきありがとうございました。

長期的な視点を常に持つ 〜アドラー心理学について①〜

アドラー心理学に出会ってから、アドラー心理学を実践することで、生徒たちに良い影響を与えることができないかと、常にアドラー心理学の教えを念頭に置くようになった。
いくつか理由はあるけれども、その中でも、けっこう中心的な部分について、ピックアップしていきたい。

まずは、アドラー心理学の視点は、長期的であるってことについて。

基本的に、叱ることと褒めることが教育には必要とされているけれども、アドラー心理学ではそれを否定する。褒めたり叱ったりすることの先には、相手をコントロールするっていう目的が隠れているから。
でも、本当に必要なのは、コントロールではない、と思う。コントロールってつまり、教師の都合のいいようにさせるってことやから。
そうではなく、相手の変化を後押ししたい。こちらがコントロールするのではなく、相手が変化するのを後押しする。

人は、変化には臆病である(臆病であると思う)ので、変化するのは簡単じゃないし、短期的な関わりではなかなか後押しができない。
褒めたり叱ったりするのは、あくまでも短期的。
そうではなく、時間がかかっても良いから、変化を後押ししていきたい。

必要なのはコントロールではなく、変化できるよう勇気づけていくこと。
最終的には、こちらの働きかけや後押しから脱し、自分で歩んでいけるようになってもらうことを目指す。
アドラー心理学には、そういう考えが根底にある。人は、力をもった存在である、という信頼とともに。

長期的な視点、人への信頼、コントロールすることへの疑問が、アドラー心理学はあるので、ぼくは強い共感を覚えるのだと思う。

では、お読みいただきありがとうございました。

これからは、積極的にブログを書くつもりでいます。ブログには感謝感謝です。

3日前から、ブログの更新を再開している。
1つ1つのエントリは、短い。サクッと書いて、えいやっと投稿してるので、こんなんでいいのかなぁ?という気持ちが、ないわけじゃない。
でも、書かないよりも書いた方がいいやろうってのを盾に、サクッと書いている。
毎日なにかしら書くことはある。考えてることとか、本読んで感じたこととか、誰かと話してて気づいたこととか、なんとか、かんとか。
そういうのんを、今までは全然書いてこなかった。
ちゃんとまとまってから書こうと思うあまり、ブログを更新できてなかった。
更新できてないと、ブログを書くための時間をとることも疎かになり、よけい更新できず、、、だった。

書くことで下がるハードル

ちょっと毎日更新をしていきたいな、と考え、試しにえいやっと、サクッと書いたものを投稿してみた。
一度更新するだけで、更新に対するハードルはかんなり下がり、結果、今のところ毎日更新できてる。まだ4日やけど。
でも、更新へのハードルを下げることができたのは、だいぶでかい、と思う。そう思いたい。
毎日更新するなんて、ブログを始めて書き慣れてきたころ以来やけれども、ちょっとまた続けていきたいと思う。
日頃考えてることについてや、読んでいる本から感じたことや、他の人の話から思ったことなんかを。
些細なことでもいい。
時間がない時もあるやろうけれども、そんなときでもその日書けることを書いていきたい。

書く、と決意すること

些細なことでもいいってルールにすると、書けることは驚くほど増える。
本については、読み終えてから書く必要はない。その日読んだ部分について書いてもいい。
考えがまとまってなくても、ブログに書きながら考えてもいい。結論が出なくてもいい。
感じたこと、思ったこと、考えたことを、そっくりそのまま提出してしまったっていい。
思考っていうのは、 勝手に広がっていっている。
「なにか書くことあれば書こう」では、その広がる思考から書く内容をうまく捕まえられない。
「なにか書く!」と決め、書くことを決定事項としておけば、あれについても書ける、これについても書ける、というように、思考から書く内容を紡いでいける。
ここ数日、そんなふうに感じた。

おわりに

ブログを書き始めて、気づけばたぶんもう10年ほど経つ。
学生から社会人になり、家庭を持ち、子どもができた。
その中で、ブログを書く目的は変わっていった。環境も目的も変わる中で、ブログを続ける意志は常に持ち続けている。そこだけは、変わっていない。こんなに長く続けることができていて、自分に大きな影響を与えてくれたものって、なかなかない。
ブログを書き始めたきっかけは、もうあまりちゃんとは覚えていない。けどはっきり覚えているのは、先にブログを書いていた人たちがいた、ということ。ぼくはそれを毎日楽しみにして読み、いつしか自分も書きたいと思い、書くという一歩を踏み出すことができた、ということ。
そんなブログに、感謝感謝しかない。そんな魅力的なブログを書かれた方たちに、感謝感謝しかない。
ほんとに、ありがとうございます。これからも、楽しみにしています。

では、お読みいただきありがとうございました。

思いつかないこともある。だからおもしろい ー数学からぼくが学んだこと4-

数学はこれまで、何百年も、何千年もかけて発展してきました。
そして、ぼくたちが学ぶ数学は、数学にたずさわる多くのかたがたが、年月をかけて整えてきたものです。
「あーでもないこーでもない」と苦心したうえに出来上がった道なはずです。
数学が何百年も、何千年もかけて発展してきた道を、ぼくたちは10数年で進んでいきます。
考えると、これって、ものすごいスピードです。
過去の数学的知見を最短コースで学ぶことができる道が、ぼくたちには与えられている。
一見その道を歩いていくと、確かにスピーディーにいろんな数学の内容を学ぶことができるかに見えます。


「そんなん思いつかへんわ」
数学を学んでいて、こう思ったことが一度や二度はあるはず。
数学の理路整然な様を見たとき。
証明を理解しようとあがいているとき。
問題が解けず、解答・解説を読んできるとき。
思いつかないと感じるのは、整えられた道を進むがゆえだと思うんです。
何百年、何千年の発展の歴史を、10数年で学ぼうとするがゆえだと思うんです。
ある概念が定義され、その次にはその定義から導かれる定理の証明に入っていく。
さらにその定理からまた新たな定理が導かれていく。
そうして、スススーっと進んでいってしまう。
新しい定義がどんどん出てきて、定理がポンポンと生まれ、問題に鮮やかな解答が与えられていくってのを見せられ続けると、「そんなん思いつかへんわ」だらけになってしまいます。
数学が「思いつき」や「ひらめき」だけを頼りに発展したもののように感じてしまいます。
でも、ちょっと考えてみてください。
数学は、できあがっているその最中から、発展を遂げているまさにそのときから、ぼくたちが学ぶ数学のように整っていたのでしょうか。
そうではないはず。
「あーでもないこーでもない」という苦心を経て、整理されてきたはず。


定義というのは、ただやみくもにされていくものではありません。それを定義する理由が、必然性があります。
定理というのは、ぽっと出現するものではありません。ある事柄を定め、それについて考えに考えて考え抜いた末に出てきたものです。
「思いつき」や「ひらめき」には、必ずその背景が、思いつく理由が、ひらめくストーリーが隠されています。
その思いつく理由は、とても単純な疑問であったりします。
ひらめいたストーリーは、シンプルな問いから生まれていたりします。
ごくごく自然に抱く小さな疑問。そこから数学の世界は広がっていってるんです。
その背景を知らずに、ストーリーに触れずに数学を学んでいくのは、なんともったいないことか。


整えられている道を歩んでいると、その道が昔は全然整えられておらず、でこぼこであった事実を想像する事は確かに簡単ではありません。
つい、ずっとそうであったように、はじめから整った状態であったように思ってしまいます。
整えられすぎているがゆえに、「思い付き」や「ひらめき」の連続であるかのように錯覚してしまいます。
なので、「そんなん思いつかへんわ」と感じることは、ある意味仕方のないこと。
思いつかないこともあるに決まってます。だって、すごい年月をかけて発展してきた数学を、ものすごいスピードで学んでいくわけですから。
でもね、「そんなん思いつかへんわ」と感じ、思いつかないから覚えちゃえってなっちゃうのは、ぼくは嫌なんです。
そんな数学、楽しくない。
「思いつかへんわ」ってなって、もう数学イヤってなってしまうのが悲しい。
数学はすごくおもしろいのに。
だからどうか、「思いつかへんわ」と思っても、そこで見切りをつけないでほしいんです。
思いつかないと感じても、一度立ち止まり、「思いついた理由がどこかにあるはず」ととらえてみてほしいんです。
「あーでもないこーでもない」と考えてみてほしいんです。
「確かに思いつかないかもしれない。けど、思いついた理由がどこかにあるはず」と考え、数学に触れていったほうが、驚きや発見と出会う機会は格段に増えます。
いっそこう考えるのもいいかもしれません。
「ひらめきなんてないはず」と。
そして、ストーリーを明らかにするために、いったん立ち止まり、考えてみる。
それができるか否かで、数学の楽しさは大きく違ってくるように思います。


「”ひらめき”はいらない」」という視点で眺めることができるようになると、それまで思考停止の要因であった「そんなん思いつかへんわ」が、思考を進めるトリガーとなってくれます。
「そんなん思いつかへんわ」。でも、「ひらめきなんてない」はず。じゃあ、「そう思いつく理由を、ひらめいたわけを明らかにしてやろう」と。
思いつく理由さがしや、ひらめきいたわけを明らかにしていく術として、「条件と求めるものを確認」することや「ツッコミを入れる」ことなんかが役立ってくれるのではないか、と思います。

連載のおわりに

数学のおもしろさを、もっとたくさんの人に感じてほしい。楽しみ方を知ってほしい。
そういう思いから、「数学からぼくが学んだこと」を書きました。
ぼくは、数学をおもしろいと、楽しいと感じています。じゃあ、なぜそう感じるようになったのか。どういったことを学んできてそんな思いに至ったのか。それが少しでも伝わればいいな、と考えての連載でした。
ちょっとでもいいから、数学を楽しむ一助になれば、うれしい限りです。

では、お読みいただきありがとうございました。