「”ひらめき”はいらない」という目で見る ー数学からぼくが学んだこと2ー

“とりあえず”・”なんとなく”進むのではなく、まずは、「条件と求めるものを確認」し、今自分のいる場所と、向かうべき目的地を確認する。
こんな当たり前のことが、実はとても大切です。
「条件と求めるもの」は、最初に確認しさえすればいい、というものでもありません。
間違った道を進んでいることに気付いた時にも、再度「条件と求めるものを確認」するという行為は、別の一歩を探る手がかりとなってくれます。
また、「条件と求めるものを確認」することは、「ひらめき」に頼らず、一歩一歩着実に進んでいくための基本にもなってきます。


\(x\)軸に接し、\(2\)点\((2, 3), (-1, 12)\)を通る2次関数の方程式を求めよ。

この問題の解答を眺めてみます。はじめの一行だけ。こんな風に書かれていることが多いはず。

解)求める2次関数の方程式は、\(y=a(x-p)^2\)とおける。

問題を自分で解くことができずに解答をひらいた人は、この一行を見ると、もしかすると「なんでいきなりそうおけるってわかるねん!」とツッコミを入れたくなるかもしれません。
実際ぼくはそうでした。「なんでいきなりそうおけるってわかるねん、なんでそうおこうと思うねん」とモヤモヤしながらも、問題の解答を覚え、とりあえずその問題については解けるようにする、というスタンスで数学を勉強していました。
ずっとモヤモヤを抱いたままなのですっきりせず、楽しく学ぶことなんてできませんでした。
そんなぼくは恩師に出会い、「条件と求めるものを確認」することの大切さを学びました。それに加え、「”ひらめき”は必要ではない」ということも。


「条件と求めるものを確認」してみましょう。

  • 条件:\(x\)軸に接し、\(2\)点\((2, 3), (-1, 12)\)を通る2次関数
  • 求めるもの:2次関数の方程式

求めたいのは、「2次関数の方程式」なわけです。じゃあ、「2次関数の方程式」ってのはいったいなんなのか。そう疑問を持つことができれば、次に進んでいくことができます。
2次関数の方程式は\(y=ax^2+bx+c\)という形をしています。2次関数なので、\(a \neq 0\)です。\(a=0\)だと、\(x^2\)が消えてしまい、次数が\(2\)の項がなくなり、「2次」の関数ではなくなってしまうからです。
そして2次関数では、もう一つの表現方法も大切です。それが、\(y=a(x-p)^2+q\)という形。一つ目の式を平方完成し、頂点の座標が\((p, q)\)とわかるように式変形したものになります。

この二つの表し方は基本的な事柄で、2次関数を学ぶと必ずでてくること。ひらめく類のことではありません。
次は条件をみてみます。「\(x\)軸に接し」と書かれています。

つまりこれは、「頂点が\(x\)軸上にある」ということ。条件として、”頂点に関すること”が与えられていることがわかりました。

求めたい2次関数には二つの表現がありました。一般的な\(y=ax^2+bx+c\)と、頂点の座標が\((p, q)\)である\(y=a(x-p)^2+q\)です。
一方、条件を読むと、”頂点に関する情報”が与えられていました。
2次関数の二つの表現のうち、条件の”頂点に関する情報”を扱うためには、頂点の座標が\((p, q)\)である、\(y=a(x-p)^2+q\)という方が使えそうです。
「頂点が\(x\)軸上にある」ので、頂点の\(y\)座標は\(0\)です。つまり、\((p, q)\)の、\(q=0\)。
となると、\(y=a(x-p)^2+q\)の\(q\)が\(0\)であることから、求める2次関数の方程式は\(y=a(x-p)^2\)という形をしているはずだ、とわかります。
ということで、解)の一行目にあるように、「求める2次関数の方程式は、\(y=a(x-p)^2\)とおける」わけです。


少し、混み入った話になってしまいました。混み入った話になったものの、”ひらめき”が必要となる部分は、一切ないように思います。
まず「条件と求めるものを確認」する。それに、自分の知識を組み合わせて思考を進めていく。
数学のそういう側面が伝わってほしいな、と思います。
「”ひらめき”が必要ではない」と学び、実際の問題たちを通してそれを実感してから、ぼくは数学がすごく楽しくなりました。問題の解説というのは、はじめから最後まで忠実に組み立てられた”流れ”があることがわかったからです。それはもう、よくできた「ストーリー」です。
もちろんこれは数学の”問題”に限ったことではありません。数学で学ぶいかなる”定義”や”定理”においてもそう。
自分では答えまでのストーリーを組み立てることができないかもしれない。自力では結末まで進めないかもしれない。でも、そのストーリーを理解し、味わうことはできる。
そういう思いで数学を学んでいます。楽しんでいます。
数学の魅力的なストーリーたちが、どんどん語られ、味わわれていけばいいな、と願っています。
魅力的なストーリーを、その魅力を失わせることなく、伝えることができるようになりたいと思っています。

では、お読みいただきありがとうございました。

問題の解説

「条件と求めるものを確認」してみましょう。

  • 条件:\(x\)軸に接し、\(2\)点\((2, 3), (-1, 12)\)を通る2次関数
  • 求めるもの:2次関数の方程式

求める2次関数の方程式を、\(y=a(x-p)^2\)とおきます。
先ほど確認したように、条件にて、”頂点に関する情報”として「\(x\)軸に接する」と与えられており、このことから、「頂点の\(y\)座標が\(0\)となるので、\(y=a(x-p)^2\)とおける」のでした。
与えられている条件をさらにみると、「\(2\)点\((2, 3), (-1, 12)\)を通る」とあります。
例えば、関数が「点\((1, 2)\)を通る」ということからわかることは、関数の\(x\)に、点\((1, 2)\)の\(x\)座標である\(1\)を代入すると、そのときの\(y\)の値は点\((1, 2)\)の\(y\)座標である\(2\)になる、ということ。つまり、\(x\)と\(y\)のそれぞれに、点\((1, 2)\)の\(x\)座標、\(y\)座標を代入した式が成り立つ、ということです。
\(y=a(x-p)^2\)が\((2, 3)\)を通ることから、\(x=2\)と\(y=3\)を代入した式、\(3=a(2-p)^2\)が成り立ちます。
同様に、\((-1, 12)\)を通ることから、\(12=a(-1-p)^2\)が成り立ちます。
あとは、この2つの式を利用して、\(a\)と\(p\)の2つの文字の値を求めていきます。
2つの未知数\(a\)と\(p\)に対して、2つの式を導くことができました。2つの式があれば、2つの未知数\(a\)と\(p\)の値を求めることができるはずです。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
3=a(2-p)^2 \mbox{・・・(1)}\\
12=a(-1-p)^2 \mbox{・・・(2)}
\end{array}
\right.
\]

(1)の両辺を\((2-p)^2\)で割って、

\[
3=a(2-p)^2 \Leftrightarrow \frac{3}{(2-p)^2}=a
\]

これを(2)に代入すると、

\[
\begin{eqnarray}
&~&12=a(-1-p)^2 \\
&\Leftrightarrow &12=\frac{3}{(2-p)^2}(-1-p)^2
\end{eqnarray}
\]

これを解いていきます。

\[
\begin{eqnarray}
&~ &12=\frac{3}{(2-p)^2}(-1-p)^2 \\
&\Leftrightarrow &12(2-p)^2=3(-1-p)^2 \mbox{ (両辺を}(2-p)^2\mbox{倍した)} \\
&\Leftrightarrow &4(2-p)^2=(-1-p)^2 \mbox{ (両辺}\div 3 \mbox{)}\\
&\Leftrightarrow &4p^2-16p+16=p^2+2p+1 \\
&\Leftrightarrow &3p^2-18p+15=0 \\
&\Leftrightarrow &p^2-6p+5=0 \mbox{ (両辺}\div 3\mbox{)}\\
&\Leftrightarrow &(p-1)(p-5)=0\\
&\Leftrightarrow &p=1, 5
\end{eqnarray}
\]

\(p=1\)のとき、(1)に代入すると、
\(3=a(2-1)^2 \Leftrightarrow a=3\)。このとき、求める2次関数は\(y=3(x-1)^2\)。
\(p=5\)のとき、(1)に代入すると、
\(3=a(2-5)^2 \Leftrightarrow a= \displaystyle \frac{1}{3}\)。このとき、求める2次関数は\(y=\displaystyle \frac{1}{3}(x-5)^2\)。

というわけで、答えは\(y=3(x-1)^2 , y=\displaystyle \frac{1}{3}(x-5)^2\)であることがわかりました。

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